提出了一種全新的混合多波前塊ILU-p型多重網(wǎng)格預(yù)處理，用于在行波管有損耗慢波結(jié)構(gòu)的三維有限元本征分析中產(chǎn)生的復(fù)數(shù)不對(duì)稱的大型稀疏線性方程組的迭代求解。本文提出并采用了改進(jìn)的多波前法和超塊不完全分解算法，用以提升該預(yù)處理的整體性能。這種預(yù)處理技術(shù)的運(yùn)用，使得有損耗慢波結(jié)構(gòu)的三維有限元本征分析更加精確、快速。在大量慢波結(jié)構(gòu)的仿真中，采用這種預(yù)處理技術(shù)的有限元本征分析算法體現(xiàn)出了高效的計(jì)算和內(nèi)存性能，與商業(yè)軟件HFSS相比具有明顯優(yōu)勢，這對(duì)于設(shè)計(jì)出高性能行波管慢波結(jié)構(gòu)具有重要意義。

　　行波管是一類重要的微波/毫米波電真空器件，在衛(wèi)星通信、導(dǎo)航、雷達(dá)和電子對(duì)抗等領(lǐng)域具有不可替代的作用。作為核心部件，慢波結(jié)構(gòu)的性能將直接影響行波管的整管性能。利用計(jì)算電磁學(xué)方法對(duì)慢波結(jié)構(gòu)進(jìn)行三維本征分析，是最有效的慢波結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)方法之一。然而慢波結(jié)構(gòu)通常具有非常復(fù)雜的幾何結(jié)構(gòu)、很高的工作頻率和很寬的工作帶寬，采用通用商業(yè)軟件對(duì)慢波結(jié)構(gòu)進(jìn)行三維本征分析的計(jì)算性能并不令人滿意，特別是在個(gè)人計(jì)算機(jī)上，商業(yè)軟件通常很難對(duì)慢波結(jié)構(gòu)進(jìn)行高精度、多參量優(yōu)化設(shè)計(jì)仿真。因此，專門針對(duì)行波管慢波結(jié)構(gòu)，研究更加精確、快速、穩(wěn)定的三維本征分析算法是非常有意義的。

　　我們在前期理論研究的基礎(chǔ)上開發(fā)了基于有限元法的全三維高頻電路仿真軟件HFCS，大量的測試結(jié)果表明，HFCS在慢波結(jié)構(gòu)本征分析方面和商業(yè)軟件CST MWS和HFSS相比，具有相當(dāng)?shù)挠?jì)算精度、卻有著更高的計(jì)算性能。行波管慢波結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)在沒有考慮損耗時(shí)，采用傳統(tǒng)的指定相移法時(shí)最后需要求解的廣義本征值方程是線性的。

　　但隨著行波管工作頻率的不斷提高，慢波結(jié)構(gòu)中的高頻損耗會(huì)顯著增加，要設(shè)計(jì)出高性能的行波管就必須考慮高頻損耗。此時(shí)需要求解的廣義本征值方程是非線性的，即使采用新的指定頻率法可以將其轉(zhuǎn)換成線性本征值方程，該本征值方程中的系數(shù)矩陣也是復(fù)數(shù)不對(duì)稱并且高度病態(tài)的。該本征值方程的求解非常消耗時(shí)間和內(nèi)存，因此為該本征值方程的迭代求解尋找一種高效的預(yù)處理方法是提升慢波結(jié)構(gòu)有損耗本征分析整體效率的關(guān)鍵。真空技術(shù)網(wǎng)(http://www.lalazzu.cn/)認(rèn)為“一種用于有損耗慢波結(jié)構(gòu)有限元本征分析的混合多波前塊ILU-p型多重網(wǎng)格預(yù)處理”方法能顯著地降低內(nèi)存使用和時(shí)間消耗，有重要的理論研究和工程應(yīng)用價(jià)值。

　　多波前法憑借其高效的計(jì)算性能和高度的并行性能，已被廣泛應(yīng)用于大型稀疏線性方程組的直接求解。然而，目前國際上對(duì)多波前不完全分解的研究還較少，文獻(xiàn)首次提出基于填充級(jí)數(shù)的多波前ILU預(yù)處理，證明了多波前法用于不完全分解的可能性;文獻(xiàn)進(jìn)一步提出了多波前不完全Cholesky(IC)預(yù)處理，雖然內(nèi)存占用稍高于傳統(tǒng)的IC預(yù)處理，但是其速度優(yōu)勢明顯;文獻(xiàn)將多波前法與多級(jí)塊ILU結(jié)合起來，獲得了較為高效的預(yù)處理。通過以上這些研究，可以預(yù)見采用多波前法能夠形成一種高效的預(yù)處理。為了提升慢波結(jié)構(gòu)有損耗本征分析中產(chǎn)生的廣義本征值方程的求解效率，本文在前期研究的基礎(chǔ)上，提出了混合多波前塊ILU-p型多重網(wǎng)格(MFBILU-PMP)預(yù)處理。

　　1、p型多重網(wǎng)格預(yù)處理

　　對(duì)于病態(tài)的復(fù)數(shù)不對(duì)稱系數(shù)矩陣，隨著其維數(shù)的不斷增大，基于各種常規(guī)預(yù)處理的迭代法的收斂速度會(huì)迅速降低甚至停滯。其本質(zhì)原因是在迭代開始的前幾步中，迭代誤差的高頻部分能夠迅速地衰減掉，而其低頻部分卻衰減得很慢。多重網(wǎng)格法利用粗細(xì)兩套網(wǎng)格進(jìn)行迭代求解，在細(xì)網(wǎng)格上的迭代誤差的高頻部分迅速衰減后，將細(xì)網(wǎng)格上的迭代誤差的低頻部分投影到粗網(wǎng)格上，這些細(xì)網(wǎng)格上的迭代誤差的低頻部分在粗網(wǎng)格上表現(xiàn)為高頻部分，因此能夠快速地衰減。當(dāng)采用采用二階疊成基函數(shù)時(shí)，系數(shù)矩陣P 可根據(jù)基函數(shù)的階數(shù)被劃分為如下2×2塊矩陣

　　式中P11和P22分別為P 矩陣中一階基函數(shù)和二階基函數(shù)高階部分對(duì)應(yīng)的子矩陣，而P12和P21則表示一階基函數(shù)和二階基函數(shù)高階部分之間的耦合矩陣。若用近似shur分解逼近分塊矩陣P 的逆矩陣，則可構(gòu)造出如下p型多重網(wǎng)格預(yù)處理(PMP)

　　式中，子矩陣P11和P22的逆矩陣可用ILU分解來近似獲得。

　　4、結(jié)論

　　本文提出了一種全新的MFBILU-PMP預(yù)處理，用于在行波管有損耗的慢波結(jié)構(gòu)的三維有限元本征分析中產(chǎn)生的復(fù)數(shù)不對(duì)稱的大型稀疏線性方程組的迭代求解。MFBILU-PMP中采用了本文提出的改進(jìn)的多波前法和超塊不完全分解算法，其計(jì)算和內(nèi)存性能得到了大幅提升。數(shù)值實(shí)驗(yàn)表明，運(yùn)用這種全新的預(yù)處理方法，可以大幅提升有損耗的復(fù)雜慢波結(jié)構(gòu)的有限元本征分析效率，這對(duì)于設(shè)計(jì)出高性能的行波管具有重要意義。